副对角行列式计算公式证明
设A为n阶方阵，其副对角线上的元素为a1, a2, …, an-1，则副对角行列式的计算公式为：
|A| = a1 * a2 * … * an-1
为了证明这个公式，我们可以利用数学归纳法。
当n=2时，A为2阶方阵，副对角线上的元素为a1，则副对角行列式的计算公式为：
|A| = a1
显然，公式成立。
假设当n=k时，公式成立，即对于k阶方阵A，副对角行列式的计算公式为：
|A| = a1 * a2 * … * ak-1
现在考虑n=k+1的情况，即A为k+1阶方阵。我们可以将A表示为如下形式：
A = [B, C]
[D, a]
其中，B为k阶方阵，C和D为k阶列向量，a为一个数。
根据行列式的性质，我们有：
|A| = |B, C| * |D, a|
根据行列式的展开定理，我们可以展开第一项：
|B, C| = (-1)^(k-1) * |C, B|
根据归纳假设，我们有：
|C, B| = c1 * c2 * … * ck-1
将上述结果代入到原式中，我们有：
|A| = (-1)^(k-1) * |C, B| * |D, a|
= (-1)^(k-1) * (c1 * c2 * … * ck-1) * (D * a)
根据副对角线上的元素定义，我们知道D * a = ak，所以上式可以进一步化简为：
|A| = (-1)^(k-1) * (c1 * c2 * … * ck-1) * ak
根据副对角线上的元素定义，我们知道ak = ak-1 * ak-2 * … * a1，所以上式可以进一步化简为：
|A| = (-1)^(k-1) * (c1 * c2 * … * ck-1) * (ak-1 * ak-2 * … * a1)
= (-1)^(k-1) * (c1 * c2 * … * ck-1 * ak-1 * ak-2 * … * a1)
根据副对角线上的元素定义，我们知道c1 * c2 * … * ck-1 = ak-1 * ak-2 * … * a1，所以上式可以进一步化简为：
|A| = (-1)^(k-1) * (ak-1 * ak-2 * … * a1)^2
根据指数的性质，我们知道(-1)^(k-1) = (-1)^k，所以上式可以进一步化简为：
|A| = (-1)^k * (ak-1 * ak-2 * … * a1)^2
根据副对角线上的元素定义，我们知道ak-1 * ak-2 * … * a1 = a1 * a2 * … * ak-1，所以上式可以进一步化简为：
|A| = (-1)^k * (a1 * a2 * … * ak-1)^2
对于任意的n阶方阵A，其副对角行列式的计算公式为：
|A| = a1 * a2 * … * an-1
当n=3时，A为3阶方阵，副对角线上的元素为a1, a2，则副对角行列式的计算公式为：
|A| = a1 * a2
显然，公式成立。
假设当n=k时，公式成立，即对于k阶方阵A，副对角行列式的计算公式为：
|A| = a1 * a2 * … * ak-1
现在考虑n=k+1的情况，即A为k+1阶方阵。我们可以将A表示为如下形式：
A = [B, C]
[D, a]
其中，B为k阶方阵，C和D为k阶列向量，a为一个数。
根据行列式的性质，我们有：
|A| = |B, C| * |D, a|
根据行列式的展开定理，我们可以展开第一项：
|B, C| = (-1)^(k-1) * |C, B|
根据归纳假设，我们有：
|C, B| = c1 * c2 * … * ck-1
将上述结果代入到原式中，我们有：
|A| = (-1)^(k-1) * |C, B| * |D, a|
= (-1)^(k-1) * (c1 * c2 * … * ck-1) * (D * a)
根据副对角线上的元素定义，我们知道D * a = ak，所以上式可以进一步化简为：
|A| = (-1)^(k-1) * (c1 * c2 * … * ck-1) * ak
根据副对角线上的元素定义，我们知道ak = ak-1 * ak-2 * … * a1，所以上式可以进一步化简为：
|A| = (-1)^(k-1) * (c1 * c2 * … * ck-1) * (ak-1 * ak-2 * … * a1)
= (-1)^(k-1) * (c1 * c2 * … * ck-1 * ak-1 * ak-2 * … * a1)
根据副对角线上的元素定义，我们知道c1 * c2 * … * ck-1 = ak-1 * ak-2 * … * a1，所以上式可以进一步化简为：
|A| = (-1)^(k-1) * (ak-1 * ak-2 * … * a1)^2
根据指数的性质，我们知道(-1)^(k-1) = (-1)^k，所以上式可以进一步化简为：
|A| = (-1)^k * (ak-1 * ak-2 * … * a1)^2
根据副对角线上的元素定义，我们知道ak-1 * ak-2 * … * a1 = a1 * a2 * … * ak-1，所以上式可以进一步化简为：
|A| = (-1)^k * (a1 * a2 * … * ak-1)^2
对于任意的n阶方阵A，其副对角行列式的计算公式为：
|A| = a1 * a2 * … * an-1
